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Two-phase two-point MPM modeling of submarine granular flows considering solid-to-fluid phase transition over frictional plane

从粒子与网格之间的权重和梯度出发，对比线性与二次 B 样条形函数，用可手算的二维内力例子说明连续性、守恒检查与边界支持处理。

从平移、拉伸、剪切与旋转的直观对比出发，解释 MPM 中速度梯度、变形率、自旋和形变梯度的联系，并用刚体旋转识别时间离散误差。

从弹性杆的真实能量历史和单元手算出发，解释 PIC 覆盖与 FLIP 增量回传的区别，厘清投影耗散、边界处理和精度判断。

用固定两端弹性杆的驻波解析解，核对小应变物质点离散的相位、误差归一化与能量历史，并复现实验室中的网格细化对照。

从粒子携带的速度信息出发，推导 PIC、FLIP 与 APIC 的双向传递，用平移、剪切和旋转算例区分仿射再现、角动量守恒与耗散。